Уроки 29, 30. Функция у = √x и ее график

Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. Ориентировано на работу с УМК Макарычев. Алгебра 8 класс. Просвещение. Глава 2. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ (19 ч). § 5. Арифметический квадратный корень (5 ч). Уроки 29, 30. Функция у = √x и ее график. Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.

Уроки 29, 30. Функция у = √x и ее график

Цель: рассмотреть функцию у = √х, ее свойства и график.
Планируемые результаты: знать основные свойства и график функции у = √х.
Тип уроков: уроки–практикумы.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Работа по теме уроков

Пример 1

Пусть длина стороны квадрата равна а (см), а его площадь — S (см²). Величины S и а связаны соотношением S = а² (где а ≠ 0). Это равенство означает, что каждому значению стороны квадрата а соответствует единственное значение его площади S. Из равенства S = а² найдем а = √S. Такое соотношение означает, что для каждого значения площади квадрата S можно указать единственное значение его стороны а. Формулами S = а² (где а ≥ 0) и а = √S задаются функциональные зависимости между одними и теми же переменными а и S. Однако в первом случае независимой переменной (аргументом) является сторона квадрата а, зависимой переменной (значением функции) — его площадь S. Во втором случае, наоборот, независимой переменной (аргументом) является площадь квадрата S, зависимой переменной (значением функции) — его сторона а. Заметим, что функции S = а² (где а ≥ 0) и а = √S являются взаимообратными.

Пример 2

Если в предыдущем примере в каждом случае обозначить, как принято, независимую переменную буквой л:, а зависимую переменную — буквой у, то получим взаимообратные функции у = x² (где х ≥ 0) и у = √х. Сравним свойства и графики этих функций.

Сначала составим таблицу значений функции у = √х и построим ее график.

Приведем основные свойства функции у = √х.

1. Область определения функции — значения х ≥ 0.
2. Область изменения (значений) функции — значения у ≥ 0.
3. График функции пересекает оси координат в начале системы координат.
4. Значения функции у ≥ 0 при х ≥ 0, и график расположен в первой координатной четверти.
5. Функция монотонно возрастает.

Дадим определение монотонной функции. Пусть числа х₁ и x₂ принадлежат области определения функции и значения функции в этих точках у₁ и у₂ соответственно. Пусть (для определенности) x₂ > х₁. Если при этом для всех таких значений х₁ и x₂:

1. у₂ > у₁ (т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции), то функция возрастает (график идет вверх);
2. у₂ < у₁ (т. е.  большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции), то функция убывает (график идет вниз).

Функция у = x², ее свойства и график были изучены в 7 классе. Напомним основные свойства этой функции при х ≥ 0.

1. Область определения функции — значения х ≥ 0.
2. Область изменения (значений) функции — значения у ≥ 0.
3. График функции пересекает оси координат в начале системы координат.
4. Значения функции у ≥ 0 при х ≥ 0, и график расположен в первой координатной четверти.
5. Функция монотонно возрастает.

Заметим, что графики функций у = √х и у = x² (где х ≥ 0) симметричны относительно прямой у = х (биссектрисы первого и третьего координатных углов). Доказательства этого факта, а также свойства взаимообратных функций мы в 8 классе приводить не будем.

Пример 3

Для линейной функции у = 3х – 2 найдем обратную, построим графики этих функций и убедимся, что они симметричны относительной прямой у = х.

Переменные у и х связаны соотношением у = 3х – 2, что позволяет для любого значения х вычислить соответствующее значение у. Теперь из того же соотношения у = 3х – 2 выразим х: 3х = у + 2 и х = у/3 + 2/3. Теперь можно по любому значению у найти соответствующее ему значение у, т. е. х является функцией у. Так как принято независимую переменную обозначать буквой х, а зависимую — буквой у, то в выражении х = у/3 + 2/3 поменяем х на у, а у на х. Получаем функцию у = х/3 + 2/3. Эта функция является обратной для данной функции у = 3х – 2.

Видно, что эти графики симметричны относительной прямой у = х. На основании рисунка приведем еще некоторые свойства взаимообратных функций.

1. Монотонность таких функций одинакова. Из рисунка видно, что обе функции возрастают.
2. Если график данной функции пересекает ось абсцисс в точке х = а и ось ординат — в точке у = b, то график обратной функции, наоборот, пересекает ось абсцисс в точке х = b и ось ординат — в точке у = а. Из рисунка видно, что точки пересечения графика функции у = 3х – 2 с осями координат х = 2/3 и у = –2. Точки пересечения графика обратной функции у = х/3 + 2/3 с осями координат, наоборот, х = –2 и у = 2/3.

III. Задания на уроках

№ 352 (а); 355; 358 (а, б); 360; 362 (в); 363 (а, в, г); 365 (а, в).

IV. Контрольные вопросы

1. Перечислите основные свойства функции у = √х и нарисуйте ее график.
2. Перечислите основные свойства функции у = x² (где х ≥ 0) и нарисуйте ее график.
3. Приведите основные свойства взаимообратных функций. Что можно сказать о графиках таких функций?

V. Творческие задания

VI. Подведение итогов уроков

Домашнее задание: № 352 (б); 356; 358 (в, г); 361; 362 (б); 363 (б, д, е); 365 (б, г).

Вы смотрели: Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. УМК Макарычев (Просвещение). Глава 2. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ (19 ч). § 5. Арифметический квадратный корень (5 ч). Уроки 29, 30. Функция у = √x и ее график.

Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.