Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Код ОГЭ по математике: 4.2.1. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена арифметической прогрессии. 4.2.2. Формула суммы первых нескольких членов арифметической прогрессии

Определения и обозначения

Определение. Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа.

В арифметической прогрессии разность между любыми двумя соседними членами одна и та же. Эту разность называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d. Правило, по которому образуются члены арифметической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы:

а_n+1 – a_n = d.    Или иначе: a_n+1 = a_n + d.

Пример 1. В арифметической прогрессии 1; 3; 5; 7; 9; 11; … разность положительна: d = 3 – 1 = 2. В этой последовательности каждый следующий член больше предыдущего; такую последовательность называют возрастающей.

Пример 2. В арифметической прогрессии 100; 90; 80; 70; 60; … разность отрицательна: d = 90 – 100 = –10. Каждый следующий член этой последовательности меньше предыдущего, и поэтому последовательность называют убывающей.

Пример 3. Последовательность 5; 5; 5; 5; 5; … , все члены которой равны между собой, тоже является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя её членами одна и та же: d = 5 – 5 = 0.

Свойство арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Формулы n–го члена арифметической прогрессии

Формула n–го члена арифметической прогрессии (а_n), первый член которой равен а₁ и разность равна d:

а_n = а₁ + d(n – 1).

Формула содержит четыре переменные. Если известны значения трёх из них, то можно вычислить и значение четвёртой. Убедитесь в этом, решив следующие четыре задачи (в каждом случае укажите, какие переменные известны, и получите ответ):

1. В арифметической прогрессии а₁ = 2 и d = 3. Найдите а₆₅. (Ответ: 194.)
2. В арифметической прогрессии а₈₆ = 100 и d = –4. Найдите а₁. (Ответ: 440.)
3. В арифметической прогрессии а₁ = 65 и а₂₁ = –55. Найдите d. (Ответ: –6.)
4. В арифметической прогрессии а₁ = 1 и d=4. Найдите номер члена, равного 397. (Ответ: 100.)

Пример 4. Дана арифметическая прогрессия: 1,5; 4,5; 7,5; 10,5; … . Начиная с какого номера члены этой прогрессии превосходят 1000?

В данной прогрессии а₁ = 1,5 и d = 4,5 – 1,5 = 3. Составим формулу n–го члена: а_n = 1,5 + 3(n – 1), т.е. а_n = 3_n – 1,5.

Найдём значения n, при которых выполняется условие а_n > 1000. Для этого решим неравенство 3n – 1,5 > 1000; n > 333. Таким образом, члены данной прогрессии превосходят 1000, начиная с члена, номер которого равен 334. (Для самопроверки можно вычислить а₃₃₄: имеем a₃₃₄ = 3 • 334 – 1,5 = 1000,5).

Пример 5. В арифметической прогрессии a₁₅ = 40, а₂₀ = 5. Найдём a₃₀.

Способ 1. Выразив а₁₅ и a₂₀ через а₁ и d, составим систему уравнений:

Решив её, найдём, что а₁ = 138, d = –7. (Получите этот результат самостоятельно.) Воспользовавшись формулой n–го члена, найдём a₃₀, a именно: а₃₀ = 138 – 7 • 29 = –65.

Способ 2. Выразим а₂₀ через а₁₅ и d: a₂₀ = а₁₅ + 5d. Подставив значения а₂₀ и а₁₅, получим: 5 = 40 + 5d, откуда d = –7. Теперь найдём а₃₀. Это можно сделать, например, так:
а₃₀ = а₂₀ + 10d = 5 – 7 • 10 = –65.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались приёмом, основанным на следующим утверждении: если последовательность (а_n) – арифметическая прогрессия, то для любых натуральных n и m верно равенство:

а_n = а_m + (n – m)d.

Если вы эту формулу забудете, то в каждом конкретном случае можно выразить один член прогрессии через другой, выполнив несложные преобразования. Например, выразим а₂₀ через а₅:
а₂₀ = а₁ + 19d = (a₁ + 4d) + 15d = а₅ + 15d.

Изображение членов арифметической прогрессии
точками на координатной плоскости

Члены числовой последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, a по вертикальной – соответствующий член последовательности.

Если последовательность – арифметическая прогрессия, то точки, изображающие её члены, лежат на одной прямой. Дело в том, что зависимость n–го члена арифметической прогрессии от номера члена n является линейной. В самом деле:

a_n = a₁ + d(n – 1) = d_n + (a₁ – 1).

Например, если в арифметической прогрессии а₁ = 1 и d = 3, то а_n = 1 + 3(n – 1), т.е. а_n = 3n – 2. Значит, точки, изображающие члены этой прогрессии, лежат на прямой y = 3x – 2 (см. рис.).

Изменение членов арифметической прогрессии происходит равномерно: с каждым шагом по горизонтальной оси изображающие их точки поднимаются или опускаются на одно и то же число единиц вдоль вертикальной оси.

Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Если известны первый и последний из суммируемых членов, то удобно пользоваться формулой

Пример 6. Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 1000.

Слагаемые в сумме 1 + 2 + 3 + … + 1000 образуют арифметическую прогрессию. Подставив в формулу суммы а₁ = 1, а_n = 1000, n = 1000, получим:

Формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии можно записать в другом виде, выразив S_n через а₁, d и n:

Пример 7. Найдём сумму всех двузначных чисел, кратных 3.

Последовательность 12; 15; 18; … ; 99 является арифметической прогрессией, в которой а₁ = 12, а_n = 99, d= 3. Найдём номер последнего члена. Подставив в формулу а_n = а₁ + d(n – 1) указанные значения, получим уравнение 99 = 12 + 3(n – 1). Решив его, найдём, что n = 30. Теперь можно вычислить искомую сумму:

Это конспект по математике на тему «Арифметическая прогрессия». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: 
• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.