Как сравнить два выражения

Как сравнить два выражения

Алгоритм решения задач по алгебре на тему «Как сравнить два выражения».

При сравнении чисел составляют их разность и выясняют, ка кое число получается в ответе – положительное, отрицательное или нуль.

Число а больше числа b, если разность чисел а – b положительное число: а > b, если а – b > 0.
Число а меньше числа b, если разность а – b отрицательное число: а < b, если а – b < 0.

Подробнее о  сравнении чисел смотрите в конспекте «Числовые неравенства. Сравнение чисел».

АЛГОРИТМ
«Как сравнить два выражения»

1. Составьте разность двух выражений и упростите (раскройте скобки, приведите подобные слагаемые).
2. Определите знак полученной разности: если разность больше нуля, то первое выражение больше второго; если разность меньше нуля, то первое выражение меньше второго; если знак установить нельзя при всех значениях букв, входящих в разность, то нельзя утверждать, что одно из выражений больше другого при любых значениях букв.

ПРИМЕР 1. Даны выражения:   4b(b + 1) (I)   и   (2b + 7)(2b – 8) (II).
1). Сравните значения выражений при b = –2; b = 10.
2). Можно ли утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго?

Решение.

I. ⇒   1). Если b = –2, то 4 • (–2)(–2 + 1) = –8 • (–1) = 8 (I)
2). (2 • (–2) + 7)(2 • (–2) – 8) = 3 • (–12) =–36 (II)
3). 8 – (–36) = 44; 44 > 0

II. ⇒  1). Если b = 10, то 4 • 10 • (10 + 1) = 40 • 11 = 440 (I)
2). (2 • 10 + 7)(2 • 10 – 8) = 27 • 12 = 324 (II)
3). 440 – 324 = 116; 116 > 0

В обоих случаях значение первого выражения больше значения второго.

III. Найдем разность первого и второго выражений (I) – (II):
4b(b + 1) – (2b + 7)(2b – 8) = (4b² + 4b) – (4b² – 2b – 56) = 4b² + 4b – 4b² + 2b + 56 = 6b + 56

Разность (I) и (II) выражений равна 6b + 56. Это выражение не при всех значениях b положительно. Например, при b = –10, –11, –12… значение выражения отрицательно. Поэтому нельзя утверждать, что мри всех значениях b значение (I) выражения больше значений (II) выражения.

ПРИМЕР 2. Верно ли неравенство (3х + 8)² > 3х(х + 16) при любом значении х?

Решение.

1). Преобразуем выражения, стоящие в левой и правой частях неравенства:

3). 6х² + 64 > 0 при всех значениях х, так как х² ≥ 0 при любых значениях х; значит, неравенство (III) верно при любых значениях х, значит, и неравенство (I) верное.

Ответ: неравенство верно.

ПРИМЕР 3. Докажите, что а + 1/а ≥ 2, а > 0.

Доказательство.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

1. Сравните числа х и у, если разность  х – у  равна:   1) –3;    2) 5;    3) 0.

2. Что больше:   a³ + b³   или   ab(a + b),   a > 0,   b > 0,   a ≠ b?

Вы смотрели алгоритм решения задач по алгебре на тему «Как сравнить два выражения».

Вернуться в раздел «АЛГЕБРА»