Математика 6 класс: все темы, правила и формулы
Математика 6 класс: все темы, правила и формулы.
Краткий курс математики за 6 класс.
«Математика 6 класс: все темы, правила и формулы» — это краткое повторение математики за 6 класс (основные понятия, формулы и определения). Вся информация, самое главное и всё, что нужно знать вкратце. Цитаты взяты из учебника для общеобразовательных учреждений (авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под ред. С.А. Теляковского) — М.: Просвещение, 2014.
Делимость чисел
- Пусть а и b — натуральные числа и при делении а на b в частном получается q и в остатке r. Тогда а = bq + r, где q и r — натуральные числа или нули, причём r < b. Например:
- Если натуральное число а делится на натуральное число b, то а называют кратным b, а b — делителем а. Это означает, что а = bq, где q — натуральное число. Например, 62 кратно 31, 31 — делитель 62, так как 62 = 31 • 2.
- Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет только два делителя — единицу и само это число. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.
Например, числа 2, 7, 43, 109 — простые, а числа 4, 12, 35 — составные. Число 1 не является ни простым, ни составным. Всякое составное число можно разложить на простые множители, и притом единственным способом. Например, 630 = 2 • 32 • 5 • 7.
- Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение всех получившихся простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим показателем. Например, 72 = 23 • 32; 180 = 22 • 32 • 5 и 600 = 23 • 3 • 52. Наименьшее общее кратное чисел 72, 180 и 600 равно 23 • 32 • 52 = 1800.
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим показателем. Например, наибольший общий делитель чисел 72, 180 и 600 равен 22 • 3, т. е. числу 12.
- Если число оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, то оно делится на 5. Если число оканчивается любой другой цифрой, то оно не делится на 5.
- Если число оканчивается чётной цифрой, то оно делится на 2. Если число оканчивается нечётной цифрой, то оно но делится на 2.
- Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр числа не делится на 3, то число не делится на 3.
- Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.
Обыкновенные дроби
- Правильной дробью называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильной дробью называется дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему.
- Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
- Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей; вычислить дополнительные множители, разделив наименьшее общее кратное на каждый знаменатель; умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель. Например, приведём к наименьшему общему знаменателю дроби 1/6, 7/12, 5/18. Наименьший общий знаменатель равен 36:
- При сложении дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель. При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель. Например,
При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями сначала их приводят к общему знаменателю.
- Чтобы перемножить две дроби, надо перемножить отдельно их числители и знаменатели; первое произведение сделать числителем, а второе — знаменателем. Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю.
Например,
Десятичные дроби
- При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра 5, б, 7, 8 или 9, то к последней оставшейся цифре прибавляют 1. Если первая следующая за этим разрядом цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют.
Например, 4,376 ≈ 4,4; 2,8195 ≈ 2,820; 10,1425 ≈ 10,14.
- Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно. При этом дроби записывают одну под другой так, чтобы запятая оказалась под запятой.
Например:
- Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а затем в полученном произведении отделить занятой справа столько цифр, сколько их стоит после занятой в обоих множителях вместе.
- Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо в делимом и делителе перенести запятые вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.
Например:
- Чтобы умножить десятичную дробь на 10n, надо в этой дроби перенести запятую на n цифр вправо. Чтобы разделить десятичную дробь на 10n, надо в этой дроби перенести запятую на n цифр влево.
Например, 8,373 • 100 = 837,3; 3,4 : 1000 = 0,0034.
Положительные и отрицательные числа
- Модулем положительного числа и нуля называется само это число. Модулем отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Модуль числа а обозначают |а|. Например, |3,6| = 3,6; |0| = 0; |–2,8| = 2,8.
- Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и перед полученным результатом поставить знак «минус».
- Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо из большего модуля вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.
- Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
Например, –3,4+ (–1,8) = –5,2; 2,5 + (–4,1) = –1,6; –3,6 + 3,6 = 0.
- Чтобы из одного числа вычесть другое, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
Например, –5 – 1,9 = –5 + (–1,9) = –6,9.
- Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули. Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить их модули и перед полученным результатом поставить знак «минус».
Например, –1,2 • (–8) = 9,6, –3 • 1,2 = –3,6.
- Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо модуль делимого разделить на модуль делителя. Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным результатом поставить знак «минус».
Например, –4,8 : (–2,4) = 2, 5,5 : (–5) = –1,1.
- Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Пропорции
- Равенство двух отношений называют пропорцией. Например, равенство 2,5 : 5 = 3,5 : 7 — пропорция. Числа 2,5 и 7 — крайние члены пропорции. Числа 5 и 3,5 — средние члены пропорции. Если пропорция верна, то произведение её крайних членов равно произведению средних членов. В пропорции можно менять местами крайние члены или средние члены.
- Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
- Если величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.
- Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
- Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной из величин равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
Свойства действий над числами
- Переместительное свойство сложения. От перестановки слагаемых значение суммы не изменяется.
Сочетательное свойство сложения. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.
Переместительное свойство умножения. От перестановки множителей значение произведения не изменяется.
Сочетательное свойство умножения. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.
Распределительное свойство умножения. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить ото число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты.
Преобразование выражений
- Слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми.
- Для того чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.
Например, 5а – 7а + 4а = 2а.
- Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.
Например, 3х + (2а – у) = 3х + 2а – у.
- Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.
Например, 5а – (2х – 3у) = 5а – 2х + 3у.
«Математика 6 класс: все темы, правила и формулы» — это краткое повторение алгебры за 6 класс (основные понятия, формулы и определения). Краткий курс: вся информация, самое главное и всё, что нужно знать вкратце.