Мерзляк Геометрия 7 Глава 1 Простейшие геометрические фигуры
«Мерзляк Геометрия 7 Глава 1»
Краткий конспект учебника по геометрии за 7 класс (А.Г.Мерзляк и др.) в 4-х частях. Цитаты из учебника помогут учащимся, которые сдали учебник в библиотеку при переходе в старший класс, быстро освежить знания, полученные в 7 классе. Часть 1-я.
Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства
$ 1. Точка и прямая.
Точка — самая простая геометрическая фигура. Это единственная фигура, которую нельзя разбить на части. Прямая — это геометрическая фигура, обладающая определёнными свойствами.
$ 2. Отрезок и его длина.
$ 3. Луч. Угол. Измерение углов.
Проведём прямую АВ и отметим на ней произвольную точку О. Эта точка разбивает прямую на две части. Каждую из этих частей вместе с точкой О называют лучом или полупрямой. Точку О называют началом луча.
На рисунке 46 изображена фигура, состоящая из двух лучей ОА и ОВ, имеющих общее начало. Эта фигура делит плоскость на две части, выделенные разными цветами. Каждую из этих частей вместе с лучами ОА и ОВ называют углом. Лучи ОА и ОВ называют сторонами угла, а точку О — вершиной угла.
$ 4. Смежные и вертикальные углы.
$ 5. Перпендикулярные прямые
$ 6. Аксиомы.
В предыдущих параграфах были доказаны четыре теоремы. Каждый раз, доказывая новое свойство фигуры, мы опирались на ранее известные геометрические факты. Например, при доказательстве теоремы о вертикальных углах было использовано свойство смежных углов. Руководствуясь этим принципом, мы докажем ещё много новых теорем. Но уже сейчас, на начальном этапе изучения геометрии, возникает естественный вопрос: если свойства геометрических фигур изучают по принципу «новое из старого», то должны существовать первоначальные факты, и тогда на чём основано их доказательство? Ведь до них никаких истинных утверждений не было. Решить эту проблему можно единственным способом: принять первые свойства без доказательств. Так и поступают математики. Эти свойства называют аксиомами.
В качестве аксиом выбирают утверждения, которые просты, очевидны, не вызывают сомнений. Ведь недаром слово «аксиома», происходящее от греческого «аксиос», означает «достойное признания». Некоторые аксиомы были сформулированы в предыдущих параграфах. Они назывались основными свойствами и их названия выделены синим цветим.
Часть аксиом мы не выделяли каким-то специальным образом, а просто формулировали как наглядно очевидные утверждения. Так, в § 2 были сформулированы такие аксиомы: для любых двух точек существует единственный отрезок, для которого эти точки являются концами; каждый отрезок имеет определённую длину.
Аксиомы используют не только в математике. Нередко в обыденной жизни любое истинное утверждение называют аксиомой. Например, говорят: «После марта наступит апрель. Это аксиома». Аксиомы возникают не только из практики или наблюдений. Для любого гражданина России Конституция — это список аксиом. Поэтому аксиому можно рассматривать как закон или правило.
Из истории геометрии.
Геометрия стала называться наукой лишь тогда, когда её истины начали устанавливать путём доказательства.
Появление доказательной геометрии связано с именем первого из «семи мудрецов» — Фалеса Милетского (ок. 625-547 гг. до н. э.) — философа, учёного, купца и государственного деятеля. Задолго до Фалеса было известно, что вертикальные углы равны, диаметр делит крут на две равные части. Никто в истинности этих фактов не сомневался. А Фалес доказал их, тем самым прославив себя.
Книгу, по которой учили геометрию более 2000 лет, без преувеличения можно назвать великой. Её название «Начала», автор — Евклид (ок. 365-300 гг. до п. э.). В фундаменте науки — список простейших фактов. Их называют постулатами (от латинского «требование») и аксиомами. Затем на их основе путём логических рассуждений доказывают все другие свойства — теоремы. Постулатов у Евклида пять.
- I постулат. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
- II постулат. И чтобы каждую прямую можно было неограниченно продолжить.
- III постулат. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любого радиуса.
- IV постулат. И чтобы все прямые углы были равны.
- V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов.
На протяжении многих веков с «Началами» Евклида по популярности могла сравниться разве что Библия. Так, ещё в конце XIX в. в ряде европейских стран геометрию преподавали по упрощённым изданиям «Начал».
ИТОГИ ГЛАВЫ 1.
Аксиома. Основное свойство прямой
Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
Определение. Пересекающиеся прямые
Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися.
ТЕОРЕМА 1.1. О двух пересекающихся прямых
Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.
Равные отрезки
Два отрезка называют равными, если их можно совместить наложением.
Аксиома. Основное свойство длины отрезка
Если точка С является внутренней точкой отрезка АВ, то отрезок АВ равен сумме отрезков АС и т. е. АВ = АС + СВ.
Расстояние между точками
Расстоянием между точками называют длину отрезка АВ.
Дополнительные лучи
Два луча, имеющие общее начало и лежащие на одной прямой, называют дополнительными.
Развёрнутый угол
Угол, стороны которого являются дополнительными лучами, называют развёрнутым.
Равные углы
Два угла называют равными, если их можно совместить наложением.
Биссектриса угла
Биссектрисой угла называют луч с началом в вершине угла, делящий этот угол на два равных угла.
Острый, прямой, тупой углы
Угол, градусная мера которого меньше 90°, называют острым.
Угол, градусная мера которого равна 90°, называют прямым.
Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°, называют тупым.
Аксиома. Основное свойство величины угла
Если луч ОС делит угол АОВ на два угла АОС и СОВ, то ∠АОВ = ∠АОС + ∠COB.
Смежные углы
Два угла называют смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами.
ТЕОРЕМА 4.1. Свойство смежных углов.
Сумма смежных углов равна 180°.
Вертикальные углы
Два угла, отличных от развёрнутого, называют вертикаль-ными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого.
ТЕОРЕМА 4.2. Свойство вертикальных углов.
Вертикальные углы равны.
Перпендикулярные прямые
Две прямые называют перпендикулярными, если при их пересечении образовался прямой угол.
ТЕОРЕМА 5.1. О единственности прямой, перпендикулярной данной
Через каждую точку прямой проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.
Это конспект по теме «Мерзляк Геометрия 7 Глава 1». Выберите дальнейшие действия:
- Перейти Главе 2 «Треугольники»
- Перейти Главе 3 «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника»
- Перейти Главе 4 «Окружность и круг. Геометрические построения»
- Вернуться к Списку конспектов по геометрии