Расположение двух прямых в пространстве
Расположение двух прямых в пространстве
Ключевые слова конспекта «Расположение двух прямых в пространстве»: пересекающиеся прямые, параллельные прямые, скрещивающиеся прямые.
Скрещивающиеся прямые
Если две прямые лежат в одной плоскости, то, как известно из курса планиметрии, они пересекаются или параллельны (см. соответствующие рисунки в таблице). В стереометрии возможен еще один случай — прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис. 6.1).
■ Определение.
Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Будем называть также два отрезка скрещивающимися, если они лежат на скрещивающихся прямых. Например, в кубе ABCDA1B1C1D1 (рис. 6.2) ребра DD1 и В1С1 скрещивающиеся.
Следующую теорему называют признаком скрещивающихся прямых, поскольку она определяет достаточные условия для того, чтобы прямые были скрещивающимися.
✅ Теорема 6.1. Если одна прямая лежит в данной плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
- Доказательство. Пусть прямая b лежит в плоскости α, а прямая а пересекает плоскость α в точке А, не принадлежащей прямой b (рис. 6.1). Если предположить, что прямые а и b лежат в одной плоскости, то в этой плоскости лежит и точка А (принадлежащая прямой а). Но через прямую b и точку А проходит единственная плоскость, поэтому рассмотренной плоскостью будет плоскость α. Тогда прямая а должна лежать в плоскости α, что противоречит условию. Следовательно, прямые а и b не лежат в одной плоскости, то есть они скрещивающиеся. □чтд.
Например, в пирамиде ABCD (рис. 6.3) ребра AD и ВС скрещивающиеся, поскольку прямая ВС лежит в плоскости АВС, а прямая AD пересекает эту плоскость в точке А, не принадлежащей прямой ВС.
Параллельные прямые в пространстве
Напомним, что две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются. Для параллельности прямых в пространстве нужно, чтобы они не только не пересекались, но еще и лежали в одной плоскости.
■ Определение.
Две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Как и на плоскости, будем называть два отрезка параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Например, в кубе ABCDA1B1C1D1 ребра AD и A1D1 параллельны (рис. 6.2).
Как известно, на плоскости через точку вне данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную этой прямой (аксиома параллельных). Аналогичное утверждение имеет место и в пространстве, только здесь его уже требуется доказывать.
✅ Теорема 6.2. Через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и к тому же только одну.
- Доказательство. Пусть точка В не принадлежит прямой а. Проведем через эту прямую и точку В плоскость α (рис. 6.4). Эта плоскость — единственная. В плоскости α через точку В проходит единственная прямая, назовем ее b, параллельная прямой а. Она и будет единственной искомой прямой, параллельной данной. □чтд.
Из определения параллельности прямых в пространстве и теоремы 6.2 следует, что через две различные параллельные прямые в пространстве можно провести плоскость, и к тому же только одну. Следовательно, к известным способам задания плоскости можно отнести еще один: плоскость можно задать двумя параллельными прямыми.
Как и на плоскости, имеет место так называемое свойство транзитивности1 параллельности прямых, выражающее также признак параллельности прямых.
1Транзитивность (от лат. transitions — переходный) — одно из свойств логического отношения величин. Для параллельности прямых транзитивность означает: «Если прямая а параллельна прямой b, а прямая b параллельна прямой с, то прямая а параллельна прямой с».
✅ Теорема 6.3. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
- Доказательство. Пусть прямые b и с параллельны прямой а. Докажем, что прямые b и с параллельны. Случай, когда прямые а, b, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в планиметрии. Поэтому предположим, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости α, а параллельные прямые а и b — в плоскости β. Плоскости α и β различны (рис. 6.5).
Возьмем на прямой b произвольную точку В и проведем плоскость γ через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость β по некоторой прямой b1. Прямая b1 не пересекает плоскость α (а значит, и прямую с). Действительно, если предположить, что прямая b1 пересекает плоскость α, то точка пересечения должна принадлежать прямой а, поскольку прямая b1 лежит в плоскости β. В то же время она должна лежать на прямой с, так как прямая b1 лежит в плоскости γ. Но прямые а и с параллельны и не пересекаются. Тогда прямая b1 лежит в плоскости β и не пересекает прямую а, поэтому она параллельна прямой а, а значит, совпадает с прямой b по аксиоме параллельных. Таким образом, прямая b, совпадающая с прямой b1, лежит в одной плоскости с прямой с (в плоскости γ) и не пересекает ее. Следовательно, прямые b и с параллельны. □чтд.
Например, в кубе ABCDA1B1C1D1 (рис. 6.6) ребра АВ и D1C1 параллельны, поскольку каждое из них параллельно ребру DC.
Примеры решения задач
Задача 1. Прямые а и b пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой а и пересекающие прямую b, лежат в одной плоскости.
Замечание. Полученный результат можно кратко сформулировать следующим образом: все параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.
Задача 2. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1 и М1 соответственно. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ не пересекает плоскость, АА1 = 8 см, ВВ1 = 6 см.
Задача 3*. Докажите, что отрезки, соединяющие середины скрещивающихся сторон пространственного четырехугольника, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).
Это конспект по геометрии в 10 классе «Расположение двух прямых в пространстве». Выберите дальнейшие действия:
- Вернуться к Списку конспектов по геометрии
- Найти конспект по Кодификатору ОГЭ по математике