Параллельность прямой и плоскости

Параллельность прямой и плоскости

Ключевые слова конспекта «Параллельность прямой и плоскости»: пересекающиеся прямые, параллельные прямые, скрещивающиеся прямые.

Вспомним, как могут располагаться прямая и плоскость относительно друг друга. Прямая может лежать в плоскости, то есть все точки прямой принадлежат плоскости. Прямая может пересекать плоскость, то есть иметь с плоскостью только одну общую точку. Наконец, прямая может не пересекать плоскость, то есть не иметь с плоскостью ни одной общей точки (см. схему в табл. 7).

■ Определение.
Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют ни одной общей точки.

Будем полагать также, что отрезок параллелен плоскости, если он лежит на прямой, параллельной плоскости.

Следующая теорема связывает понятие параллельности прямой и плоскости с понятием параллельности двух прямых и определяет достаточное условие параллельности прямой и плоскости.

✅ Теорема 7.1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Доказательство. Пусть прямая b не лежит в плоскости α и параллельна прямой а, лежащей в этой плоскости (рис. 7.1). Докажем, что прямая b параллельна плоскости α. Допустим противоположное: прямая b пересекает плоскость α в некоторой точке М. Рассмотрим плоскость β, проходящую через параллельные прямые а и b (а || b по условию). Точка М лежит как в плоскости α, так и в плоскости β, поэтому принадлежит линии их пересечения — прямой а, то есть прямые а и b пересекаются, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно и прямая b параллельна плоскости α. □чтд.

Например, в прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ каждое боковое ребро параллельно плоскостям боковых граней, не проходящим через это ребро (рис. 7.2). Действительно, боковыми гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники. Поэтому, например, боковое ребро АА₁ параллельно прямой DD₁ боковой грани DD₁C₁C, а значит, по признаку параллельности прямой и плоскости ребро АА₁ параллельно плоскости DD₁C₁C. Аналогично ребро AA₁ параллельно плоскости BB₁C₁C.

Замечание. Ребро многогранника параллельно его грани, если оно лежит на прямой, параллельной плоскости этой грани.

Следующая теорема дает еще один признак параллельности двух прямых в пространстве.

✅ Теорема 7.2 (признак параллельности двух прямых). Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая их пересечения параллельна данной прямой.

• Доказательство. Пусть плоскость β проходит через прямую b, параллельную плоскости α, и прямая а – линия пересечения этих плоскостей (рис. 7.3). Докажем, что прямые а и b параллельны.
  

Действительно, они лежат в одной плоскости β. Кроме того, прямая а лежит в плоскости α, а прямая b не пересекается с этой плоскостью. Следовательно, прямая b не может пересекаться с прямой а.
Таким образом, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Значит, они параллельны. □чтд.

Отметим, что из доказательства теоремы 7.2 следует также свойство: если прямая b параллельна плоскости α, то в плоскости всегда найдется прямая а, параллельная этой прямой b.

Примеры решения задач

Задача 1. Верно ли утверждение: «Прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости»?

Задача 2. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке A₁, а сторону ВС — в точке B₁. Найдите длину отрезка A₁B₁, если АВ = 10 см, AA₁: A₁C = 2:3.

Задача 3. Даны две скрещивающиеся прямые (рис. 7.6). Проведите через одну из них плоскость, параллельную другой.

Это конспект по геометрии в 10 классе «Параллельность прямой и плоскости». Выберите дальнейшие действия:

• Вернуться к Списку конспектов по геометрии
• Найти конспект по Кодификатору ОГЭ по математике