Самостоятельная работа № 15 по геометрии в 8 классе с ответами (3 уровня сложности по 2 варианта). Урок 62. «Свойство описанного четырехугольника» УМК Атанасян и др. (Просвещение). Геометрия 8 класс Самостоятельная 15. Поурочное планирование по геометрии. Смотреть Список самостоятельных работ по геометрии в 8 классе.
№ 1. В равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 4 см. Найдите сторону треугольника.
ОТВЕТ: 8√3 см. Дано: ▲ABC — равносторонний, ОD — радиус вписанной окружности, ОD = 4 см. Найти: AB. Решение.
▲ABC — равносторонний. ОD — радиус вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
r = a/(2√3). Следовательно, a = 2√3 * r.
a = 2√3 * OD.
a = 2√3 * 4.
a = 8√3 (см).
№ 2. Четырехугольник ABCD описан около окружности. Найдите стороны АВ и CD, если ВС = 6 см, AD = 9 см, АВ в 2 раза больше, чем CD.
ОТВЕТ: АВ = 10 см, CD = 5 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: четырёхугольник ABCD описан около окружности, BC = 6 см,AD = 9 см, AB в два раза больше, чем CD. Найти: AB и CD. Решение. Свойство четырехугольника описанного около окружности: если четырехугольникописаноколоокружности, то сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его сторон.
AB + CD = BC + AD.
По условию AB = 2 * CD.
2 * CD + CD = BC + AD.
3 * CD = BC + AD.
3 * CD = 6 + 9.
3 * CD = 15. CD = 15 : 3 = 5 (см).
AB = 2 * CD. AB = 2 * 5 = 10 (см).
С–15. 1 ур. Вариант 2
№ 1. В равносторонний треугольник со стороной 8 см вписана окружность. Найдите радиус окружности.
ОТВЕТ: (4√3)/3 см.
№ 2. Четырехугольник ABCD описан около окружности. Найдите стороны ВС и AD, если АВ = 7 см, CD = 11 см, ВС в 2 раза меньше AD.
ОТВЕТ: ВС = 6 см, AD = 12 см.
Ответы на работу II уровня сложности
С–15. 2 ур. Вариант 1
№ 1. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) АВ = 10 см, радиус вписанной в него окружности равен 2 см. Найдите площадь этого треугольника.
ОТВЕТ: 24 см2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Используем формулу радиуса вписанной окружности для прямоугольного треугольника через длины его сторон и определим сумму длин катетов (ВС + АС)
R = ОН = (АС + ВС – АВ) / 2.
(АС + ВС – АВ) = 2 * R
(ВС + АС) = 2 * R + АВ = 2 * 2 + 10 = 14 см.
Определим полупериметр треугольника АВС. р = (АВ + АС + ВС) / 2 = 24 / 2 = 12 см.
Через формулу радиуса вписанной окружности, определим площадь треугольника АВС.
R = S / p. S = R * p = 2 * 12 = 24 см2.
№ 2. В равнобедренной трапеции разность оснований равна 20 см, а радиус вписанной в нее окружности равен 2√14 см. Найдите стороны трапеции.
ОТВЕТ: 8, 18, 28, 18 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон. Найдем боковые стороны трапеции (они равны). Опустим из тупого угла В трапеции высоту ВН на большее основание AD. По свойству этой высоты, она делит большее основание на два отрезка, меньший из которых АН равен полуразности оснований. Итак, АН = 10 см.
Высота описанной около окружности трапеции равна двум радиусам этой окружности, то есть ВН = 4√14 см.
Мы имеем прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 4√14 см.
Гипотенуза этого треугольника — боковая сторона трапеции АВ.
АВ = √(АН² + ВН²) = √(100 + 224) = 18 (см).
По свойству, приведенному выше, 2АВ = ВС + АD или ВС + AD = 36 (см).
Но AD – BC = 20 (из Дано), значит AD = 28 см, а ВС = 8 см.
С–15. 2 ур. Вариант 2
№ 1. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) АС + ВС = 17 см, радиус вписанной в него окружности равен 2 см. Найдите площадь этого треугольника.
ОТВЕТ: 30 см2.
№ 2. В равнобедренной трапеции сумма оснований равна 48 см, а радиус вписанной в нее окружности равен 6√3 см. Найдите стороны трапеции.
ОТВЕТ: 12, 24, 36, 24 см.
Ответы на работу III уровня сложности
С–15. 3 ур. Вариант 1
№ 1. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°, радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь треугольника.
ОТВЕТ: 75 + 50√3 см2 (≈161,6 см2).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Обозначим стороны тр-ка: катеты а, b, гипотенуза — с. Угол А = 30°. Выразим все стороны через катет а. Катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы, значит гипотенуза с = 2а. По теореме Пифагора найдем катет b = √[c2 – a2] = √ [4a2 – a2] = a√3.
Воспользуемся формулой радиуса вписанной окружности в прямоугольный тр-к: r = (a+b–c)/2. Подставим значения:
5 = (a + a√3 – 2a) / 2;
5 = a(√3–1)/2. a = 10/(√3–1)
Площадь равна половине произведения катетов:
S = ab/2 = a•a√3 / 2 = a2√3 / 2 = (10/(√3–1))2√3 / 2 = 100/(√3–1)2 • √3/2 = 50/(3 – 2√3 + 1) • √3 = 50/(4 – 2√3) • √3 = 25√3/(2 – √3). Умножим числитель и знаменатель на (2 + √3) и получим:
25√3(2 + √3) / (22 – 3) = (50√3 + 25•3)/1 = 50√3 + 75 (см2).
№ 2. Расстояния от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до концов большей боковой стороны равны 6 и 8 см. Найдите площадь трапеции.
ОТВЕТ: 94,08 см2.
С–15. 3 ур. Вариант 2
№ 1. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, радиус описанной в него окружности равен 4 см. Найдите площадь треугольника.
ОТВЕТ: 48 + 32√3 см2.
№ 2. Расстояния от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до концов боковой стороны равны 9 и 12 см. Найдите площадь трапеции.
ОТВЕТ: 216 см2.
Справочный материал по теме самостоятельных 15-16
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть СПРАВКУ
Вы смотрели: Самостоятельная работа № 15 по геометрии в 8 классе с ответами и решениями (3 уровня сложности по 2 варианта). Урок 62. «Свойство описанного четырехугольника» УМК Атанасян и др. (Просвещение). Геометрия 8 класс Самостоятельная 15. Поурочное планирование по геометрии. Выберите дальнейшее действие:
