Геометрия 8 класс Самостоятельная 13

Самостоятельная работа № 13 по геометрии в 8 классе с ответами (3 уровня сложности по 2 варианта). Урок 53. Решение задач по теме «Касательная к окружности» УМК Атанасян и др. (Просвещение). Геометрия 8 класс Самостоятельная 13. Поурочное планирование по геометрии. Смотреть Список самостоятельных работ по геометрии в 8 классе.

Самостоятельная работа № 13
«Касательная к окружности»

Основная дидактическая цель урока: совершенствовать навыки решения задач.
Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.

I уровень сложности

II уровень сложности

 III уровень сложности

  Ответы на самостоятельную работу
I уровня сложности

С–13–1ур. Вариант 1

№ 1. Прямая КЕ касается окружности с центром в точке О, К – точка касания. Найдите ОЕ, если КЕ = 8 см, а радиус окружности равен 6 см.
ОТВЕТ: ОЕ = 10 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Отрезок ОК есть отрезок, проведенный из центра окружности к точке касания касательной КЕ, тогда этот отрезок перпендикулярен самой касательной КЕ, а тогда угол ОКЕ = 90°, а треугольник ОКЕ прямоугольный. Тогда, по теореме Пифагора, определим длину гипотенузы ОЕ:
ОЕ² = ОК² + КЕ² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
ОЕ = √100 = 10 (см).

№ 2. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 3 см, АС = 5 см. Докажите, что АВ – отрезок касательной, проведенный из точки А к окружности с центром в точке С и радиусом, равным 3 см.
Подсказка: Δ АВС – прямоугольный, АС² = АВ² + ВС².

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Треугольник АВС прямоугольный, а угол В = 90°, потому что АС² = АВ² + ВС² (по обратной теореме Пифагора). Используем следующую теорему: Прямая проходящая через конец радиуса и перпендикулярная к ней является касательной. Т.к . радиус окружности равен стороне ВС и угол В = 90° то прямая АВ имеет одну общую точку с прямой ВС => АВ – касательная к окружности, что и требовалось доказать.

С–13–1ур. Вариант 2

№ 1. Прямая MN касается окружности с центром в точке О, М – точка касания, ∠MNO = 30°, а радиус окружности равен 5 см. Найдите NО.
ОТВЕТ: NО = 10 см.

№ 2. В треугольнике MNK MN = 6 см, МК = 8 см, NK = 10 см. Докажите, что МК – отрезок касательной, проведенный из точки К к окружности с центром в точке N и радиусом, равным 6 см.
Подсказка: Δ MNK – прямоугольный, NK² = MN² + МК².

  Ответы на самостоятельную работу
II уровня сложности

С–13–2ур. Вариант 1

№ 1. АВ и ВС – отрезки касательных, проведенные к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см. Найдите ВО, если ∠AOC = 60°.
ОТВЕТ: ВО = (20√3)/3 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Так как ВА и ВС касательные к окружности, то радиусы ОА и ОС образуют с касательными прямые углы. Тогда треугольники ОАВ и ОСВ прямоугольные с прямыми углами А и С.
Отрезок ВО, по свойству касательной, проведенной из одной точки, делит углы АВС и ВОС пополам, тогда ∠АОВ = ∠СОВ = ∠АОС / 2 = 60° / 2 = 30°.
В прямоугольном треугольнике АОВ определим величину гипотенузы ВО из Cos ∠AОВ = АО / ВО.
ВО = АО / Cos ∠AОВ = 10 / (√3 / 2) = 20 / √3 = 20 * √3 / 3 (см).

№ 2. Докажите, что основание АС равнобедренного треугольника АВС является касательной окружности с центром в точке В и радиусом, равным медиане треугольника, проведенной к его основанию.
Подсказка: Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является его высотой.

С–13–2ур. Вариант 2

№ 1. MN и NK – отрезки касательных, проведенные к окружности с центром О, ∠MNK = 90°. Найдите радиус окружности, если ON = 2√2 см.
ОТВЕТ: R = 2 см.

№ 2. Докажите, что стороны равностороннего треугольника касаются окружностей, проведенных с центрами в его вершинах и радиусами, равными любой из его биссектрис.
Подсказка: Любая биссектриса равностороннего треугольника является его высотой.

  Ответы на самостоятельную работу
III уровня сложности

С–13–3ур. Вариант 1

№ 1. ЕК и EF – отрезки касательных, проведенные к окружности с центром О и радиусом, равным 6 см, ∠KOF = 120°, А – точка пересечения KF и ОЕ. Найдите ОА и АЕ.
ОТВЕТ: ОА = 3 см, АЕ = 9 см.

№ 2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность радиусом, равным данному отрезку, касающуюся сторон данного угла.
ОТВЕТ: Провести прямые, параллельные сторонам данного угла и удаленные от них на расстояние, равное данному отрезку во внутренней области данного угла. Точка пересечения этих прямых есть центр искомой окружности.

С–13–3ур. Вариант 2

№ 1. РМ и PN – отрезки касательных, проведенные к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см, ∠MON = 120°, Е – точка пересечения MN и ОР. Найдите ОЕ и РЕ.
ОТВЕТ: ОЕ = 5 см, РЕ = 15 см.

№ 2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла, с центром, удаленным от вершины угла на расстояние, равное длине данного отрезка.
ОТВЕТ: Построить биссектрису данного угла и на ней отметить точку, удаленную от вершины утла на расстояние, равное данному отрезку. Полученная точка есть центр искомой окружности, а ее радиус равен длине перпендикуляра, опущенного из данной точки к любой из сторон угла.

Вы смотрели: Самостоятельная работа № 13 по геометрии в 8 классе с ответами (3 уровня сложности по 2 варианта). Урок 53. Решение задач по теме «Касательная к окружности» УМК Атанасян и др. (Просвещение). Геометрия 8 класс Самостоятельная 13. Поурочное планирование по геометрии. Выберите дальнейшее действие:

• Список всех контрольных работ по геометрии в 8 классе.
• Список всех самостоятельных работ по геометрии в 8 классе.
• Вернуться к Списку уроков Тематического планирования по геометрии.