Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 12
Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 58. Построение треугольника по трем элементам. Решение задач. Самостоятельная работа № 12 с ответами и подсказками к решению (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 12.
Геометрия 7 класс. Урок 58.
Самостоятельная работа № 12 (задания)
Основная дидактическая цель урока: совершенствовать навыки решения задач по теме «Построение треугольника по трем элементам. Решение задач».
I уровень сложности (легкий)
II уровень сложности (средний)
III уровень сложности (сложный)
Самостоятельная работа № 12
Указания к решению и ОТВЕТЫ
С-12. I уровень сложности (задания и ответы)
Вариант 1 (уровень 1)
№ 1. В треугольнике ABC ∠C = 30°, АС = 10 см, ВС = 8 см. Через вершину А проведена прямая а, параллельная ВС. Найти:
а) расстояние от точки В до прямой АС;
б) расстояние между прямыми а и ВС.
ОТВЕТ: а) BD = 4 см; б) СК = 5 см.
Подсказка: рис. 4.211, нужно доказать ∠CAK = 30°.
№ 2. Дан треугольник АВС (рис. 4.217). Постройте треугольник МРК, в котором МР = 2 АВ, ∠M= ∠A, а высота КЕ равна высоте CD треугольника АВС.
Построение: 1) На произвольной прямой а отложим отрезок МР, равный 2АВ (рис. 4.218).
2) От луча МР отложим угол РМВ, равный ∠A.
3) Построим прямую b, удаленную от прямой а на расстояние, равное CD. Прямая b пересекается с лучом МВ в точке К.
4) Соединим точки К и Р отрезком. ΔМРК – искомый.
Доказательство: В ΔМРК МР = 2АВ, ∠M = ∠A, CD = КЕ.
Вариант 2 (уровень 1)
№ 1. В треугольнике ABC ∠A = 30°, АС = 12 см, АВ= 10 см. Через вершину С проведена прямая а, параллельная АВ. Найти:
а) расстояние от точки В до прямой АС;
б) расстояние между прямыми а и АВ.
ОТВЕТ: а) BD = 5 см; б) АК = 6 см.
Подсказка: рис. 4.212, доказать ∠ACK = 30°.
№ 2. Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе, проведенной к основанию, и углу, противолежащему основанию (рис. 4.219).
Построение: 1) Построим ∠PAK = ∠(hk) и проведем его биссектрису AL (рис. 4.220).
2) На луче AL от точки А отложим отрезок AD, равный PQ.
3) Построим прямую Ь, перпендикулярную прямой AL и проходящую через точку D (так как биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является его высотой).
4) b ∩ АР = С, b ∩ АК = В. ΔАВС – искомый.
Доказательство: ААВС – равнобедренный, так как АВ = АС из равенства прямоугольных треугольников ABD и ACD по катету и прилежащему к нему острому углу. Биссектриса, проведенная к основанию, равна PQ, а угол, противолежащий основанию, равен ∠(hk).
Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 12
С-12. II уровень сложности (задания и ответы)
Вариант 1 (уровень 2)
№ 1. В треугольнике МКР сторона МР равна 20 см. Расстояние от точки К до прямой МР равно 1/2 • КР. Через точку М проведена прямая а, параллельная КР. Найти:
а) ∠MPK;
б) расстояние между прямыми а и КР.
ОТВЕТ: a) ∠MPK= 30°, так как KD = 1/2 • КР; б) РЕ = 10 см.
Подсказка: рис. 4.213, доказать: ∠PME = 30°.
№ 2. Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, проведенной к другому катету.
Дано: катет PQ; медиана ST, проведенная к другому катету (рис. 4.221).
Построение: 1) Построим прямую а и прямую b, перпендикулярную ей и проходящую через произвольную точку С прямой a (∠C = 90°) (рис. 4.222).
2) На прямой а от точки С отложим отрезок СВ, равный PQ.
3) Построим окружность с центром в точке В и радиусом, равным ST. Окружность пересекается с прямой b в точке М. ВМ – медиана искомого треугольника.
4) На прямой b отложим отрезок СА, равный 2СМ.
5) Соединим точки А и В отрезком. ΔАВС – искомый.
Доказательство: ΔАВС – прямоугольный, в нем ∠C = 90° по построению, катет ВС равен PQ, медиана ВМ равна ST (М – середина АС, так как AM = МС).
Вариант 2 (уровень 2)
№ 1. В треугольнике МКР сторона МР = 16 см. Сторона КР вдвое больше расстояния от точки К до прямой МР. Через точку М проведена прямая b, параллельная КР. Найти:
а) ∠KPM;
б) расстояние между прямыми b и КР.
ОТВЕТ: a) ∠KPM= 30°, так как КР = 2 KD; б) РЕ = 8 см.
Подсказка: рис. 4.214, доказать: ∠PME = 30°.
№ 2. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и высоте, проведенной из вершины прямого угла.
Дано: ∠(hk) – острый угол, PQ – высота, проведенная из вершины прямого угла (рис. 4.223).
Построение: 1) Построим ∠SAT = ∠(hk) (рис. 4.224).
2) Построим прямую а, удаленную от прямой АТ на расстояние, равное PQ, a ∩ AS = С.
3) Построим прямую b, перпендикулярную прямой AS и проходящую через точку С. В ∩ АТ = В. ΔАВС – искомый.
Доказательство: ΔАВС – прямоугольный (∠C = 90° по построению), в нем ∠A = ∠(hk), а высота CD = PQ.
Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 12.
С-12. III уровень сложности (задания и ответы)
Вариант 1 (уровень 3)
№ 1. В треугольнике AВС ∠А = 70°, ∠B = 80°, BE – биссектриса. Через точку Е проведена прямая а, параллельная ВС, ЕС = х. Найти:
а) расстояние между прямыми а и ВС;
б) расстояние от точки Е до прямой АВ.
ОТВЕТ: а) ЕК = х/2, так как ∠C = 30°; б) ЕМ = х/2.
Подсказка: рис. 4.215, доказать: ∠BEK = ∠BEM.
№ 2. Постройте остроугольный треугольник по высоте и двум острым углам, которые эта высота образует со сторонами треугольника.
Дано: ∠(hk) и ∠(lp) – острые углы, которые образует высота со сторонами треугольника, PQ – высота треугольника (рис. 4.225).
Построение: 1) На прямой а отложим отрезок АН, равный PQ (рис. 4.226).
2) От луча АН по разные стороны от него построим ∠HAM = ∠(hk) и ∠HAN = ∠(lp).
3) Проведем прямую b, перпендикулярную прямой а и проходящую через точку Н.
4) b ∩ AM = В, b ∩ AN = С. ΔАВС – искомый.
Доказательство: В ΔАВС АН – высота по построению (а ⊥ b) и АН = PQ. Острые утлы, которые образует высота АН со сторонами АВ и АС треугольника АВС, равны ∠(hk) и ∠(pl) соответственно.
Вариант 2 (уровень 3)
№ 1. В треугольнике AВС ∠A = 50°, ∠B = 100°, BE – биссектриса. Через точку Е проведена прямая а, параллельная ВС, ЕС = у. Найти:
а) расстояние между прямыми а и ВС;
б) расстояние от точки Е до прямой AВ.
ОТВЕТ: а) ЕК = у/2, так как ∠= 30°; б) ЕМ = у/2.
Подсказка: рис. 4.216, доказать: ∠BEK = ∠BEM.
№ 2. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу, противолежащему этому основанию.
Дано: ∠(hk) – угол, противолежащий основанию; PQ – основание (рис. 4.227).
Построение: 1) Построим ∠MAN = ∠(hk) (рис. 4.228).
2) Построим биссектрису AL угла ∠MAN.
3) Построим прямые а и b, удаленные от прямой AL на расстояние, равное 1/2 • PQ, и расположенные по разные стороны от нее.
4) AM ∩ а = В, AN ∩ b = С. Соединим точки В и С отрезком. ΔАВС – искомый.
Доказательство: а || AL, тогда ∠1 = ∠2; b || AL, тогда ∠3 = ∠4. Так как ∠2 = ∠4, то ∠1 = ∠3, a ∠ABC = ∠ACB, отсюда ΔАВС – равнобедренный.
∠BAC = ∠(hk) по построению, ВС = PQ, так как а || b, а прямые а и b удалены на расстояние, равное PQ.
Вы смотрели: Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 58. Построение треугольника по трем элементам. Решение задач. Самостоятельная работа № 12 с ответами (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 12. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».