Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 10
Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 45. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Самостоятельная работа № 10 с ответами и подсказками к решению (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 10.
Геометрия 7 класс. Урок 45.
Основная дидактическая цель урока: совершенствовать навыки решения задач по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».
Соотношения между сторонами и углами треугольника:
1) Против большей стороны лежит больший угол.
2) Против большего угла лежит большая сторона.
3) Против равных сторон лежат равные углы, и, обратно, против равных углов лежат равные стороны.
4) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон (неравенство треугольника).
Свойства углов треугольника:
1. Сумма углов треугольника равна 180°.
2. Внешний угол треугольника — угол, смежный с углом треугольника.
3. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
4. Внешний угол треугольника больше угла треугольника, не смежного с ним.
Смотрите также теорию по теме:
— Опорный конспект № 4 «Сумма углов треугольника»
— Ключевые задачи «Сумма углов треугольника»
Самостоятельная № 10 (задания)
I уровень сложности (легкий)
II уровень сложности (средний)
III уровень сложности (сложный)
Самостоятельная № 10. ОТВЕТЫ
С-10. I уровень (задания и ответы)
Вариант 1 (уровень 1)
№ 1. Найти: углы ΔАВС (рис. 4.42).
ОТВЕТ: ∠A = 80°, ∠B = 40°, ∠C = 60°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: ∠В = 40°, ∠С = 120°Найти: ∠АВС, ∠ВСА, ∠САВ — ?
Решение:
1) ∠АВС = ∠В = 40° (углы АВС и В — вертикальные)
2) ∠ВСА = 180° – ∠С = 180° – 120° = 60° (углы ВСА и С — смежные)
3) ∠САВ = 180° – ∠АВС – ∠ВСА = 180° – 40° – 60° = 80°.
№ 2. Внутренние углы треугольника АВС пропорциональны числам 2, 5, 8.
а) Найти: углы ΔАВС.
б) Найти: внешние углы ΔАВС.
ОТВЕТ: а) 24°, 60°, 96°; б) 156°, 120°, 84°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) 2 + 5 + 8 = 15 частей,сумма углов треугольника = 180 градусов,
180°/15 = 12° (одна часть или «х»)
2 * 12° = 24° — первый угол
5 * 12° = 60° — второй угол
8 * 12° = 96° — третий угол
б) тогда смежные им внешние углы:
180° – 24° = 156°
180° – 60° = 120°
180° – 96° = 84°.
№ 3. В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. ∠A = 50°, ∠В = 60°. Найти: углы ΔCBD.
ОТВЕТ: ∠CBD = 30°, ∠BDC = 80°, ∠BCD = 70°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Сумма внутренних углов треугольника равна 180°, тогда ∠С = (180° – ∠В – ∠А) = (180° – 60° – 50°) = 70°.Так как, по условию, прямая ВD биссектриса угла АВС, то ∠АВD = ∠СВD = ∠АВС / 2 = 60° / 2 = 30°.
Тогда, в треугольнике CBD ∠СDВ = (180° – ∠СВD – ∠С) = (180° – 30° – 70°) = 80°.
Вариант 2 (уровень 1)
№ 1. Найти: углы ΔАВС (рис. 4.43).
ОТВЕТ: ∠A = 30°, ∠B= 110°, ∠C= 40°.
№ 2. Внутренние углы треугольника АВС пропорциональны числам 3, 5, 7.
а) Найти: углы ΔАВС.
б) Найти: внешние углы ΔАВС.
ОТВЕТ: a) 36°, 60°, 84°; 6) 144°, 120°, 96°.
№ 3. В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. ∠ADB = 120°, ∠B = 80°. Найти: углы ΔCBD.
ОТВЕТ: ∠CBD = 40°, ∠BDC = 60°, ∠BCD = 80°.
Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 10
С-10. II уровень (задания и ответы)
Вариант 1 (уровень 2)
№ 1. Дано: АВ = ВС (рис. 4.44). Найти: углы ΔАВС.
ОТВЕТ: ∠СAВ = 55°, ∠ВCА = 55°, ∠АBС = 70°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: ∠В = 110°, АВ = ВСНайти: ∠АВС, ∠ВСА, ∠САВ — ?
Решение:
1) ∠АВС = 180° – ∠В = 180° – 110° = 70° (углы АВС и В — смежные)
2) ∠САВ = ∠ВСА = (180° – ∠АВС) / 2 = (180° — 70°) / 2 = 55°.
№ 2. Внешний угол треугольника равен 140°, а внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 3 : 4. Найти: все внутренние углы треугольника.
ОТВЕТ: 60°, 80°, 40°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Давайте вспомним свойство внешнего угла, оно говорит о том, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.Введем коэффициент подобия x и запишем градусные меры наших углов 3x и 4x.
Значит сумма углов, которые относятся как 3 : 4 равна 140°. Составим и решим уравнение.
3x + 4x = 140°;
7x = 140° ⇒ x = 20°;
3x = 20° * 3 = 60°;
4x = 4 * 20° = 80°.
Третий внутренний угол равен 180° – (60° + 80°) = 40°.
№ 3. ΔАВС – равнобедренный с основанием AВ. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке D. ∠ADB = 100°. Найти: ∠C.
ОТВЕТ: ∠C= 20°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
1) Биссектриса делит угол пополам. В треугольнике АВD известен один угол, ∠ADB = 100°. А так как сумма внутренних углов равна 180°, то в этом треугольнике углы BAD и DBA равны по 40°.∠BAD = ∠DBA = (180° – ∠АDB) / 2 = (180° – 100°) / 2 = 40°.
2) В большом треугольнике ABC углы А и В будут по 80 градусов, т. к биссектриса делит угол пополам.
∠BAC = ∠CBA = ∠BAD * 2 = ∠DBA * 2 = 40° * 2 = 80°.
3) Сумма углов в треугольнике равна 180, значит
∠ACB = (180° – ∠СВA – ∠BAС) = (180° – 80° – 80°) = 20°.
Вариант 2 (уровень 2)
№ 1. Дано: AВ = ВС (рис. 4.45). Найти: углы ΔАВС.
ОТВЕТ: ∠A = 40°, ∠C = 40°, ∠B = 100°.
№ 2. Один из внутренних углов треугольника в 3 раза больше другого, а внешний угол, смежный с третьим внутренним углом, равен 100°. Найти: все внутренние углы треугольника.
ОТВЕТ: 25°, 75°, 80°.
№ 3. ΔАВС – равнобедренный с основанием AВ. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке D. ∠C = 100°. Найти: ∠ADB.
ОТВЕТ: ∠ADB = 140°.
Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 10.
С-10. III уровень (задания и ответы)
Вариант 1 (уровень 3)
№ 1. Дано: AD = BD; BE = ЕС; ∠BDE = 80°, ∠BED = 60° (рис. 4.46). Найти: ∠ABC.
ОТВЕТ: ∠ABC = 110°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: ∠DBE = 180° – ∠BDE – ∠BED = 180° – 80° – 60° = 40°;∠ADB = 180° – 80° = 100° (смежные углы);
∠ABD = ∠BAD = (180° – ∠ADB)/2 = 80°/2 = 40°;
∠BEC = 180° – 60° = 120° (смежные углы);
∠EBC = ∠ECB = (180° – ∠BEC)/2 = 60°/2 = 30°.
∠ABC = ∠ABD + ∠DBE + ∠EBC = 40° + 40° + 30° = 110°.
№ 2. Какими могут быть углы равнобедренного треугольника, если один из них на 40° меньше суммы двух других?
ОТВЕТ: 55°, 55°, 70° или 70°, 70°, 40°.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 3. Один из углов треугольника равен сумме двух других. Докажите, что данный треугольник – прямоугольный.
ОТВЕТ: ∠A + ∠B = ∠C, ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒ 2∠C = 180°, ∠C = 90°.
Вариант 2 (уровень 3)
№ 1. Дано: AD = BD; BE = ЕС; ∠A = 40°, ∠C = 30° (рис. 4.46). Найти: ∠DBE.
ОТВЕТ: ∠DBE = 40°.
№ 2. Какими могут быть углы равнобедренного треугольника, если один из них в 5 раз меньше суммы двух других?
ОТВЕТ: 75°, 75°, 30° или 30°, 30°, 120°.
№ 3. Один из углов треугольника равен разности двух других. Докажите, что данный треугольник – прямоугольный.
ОТВЕТ: ∠C = ∠A – ∠B, ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒ ∠A + ∠B + (∠A – ∠B) = 180°, ∠A = 90°.
Вы смотрели: Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 45. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Самостоятельная работа № 10 с ответами и решениями (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 10. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».