Геометрия 11 Повторение Аксиомы стереометрии

Итоговое повторение по геометрии за 10-11 классы. Решение тестов, вопросов и задач с ответами для УМК Атанасян и др. Поурочное планирование по геометрии для 11 класса. Урок 55. Геометрия 11 Повторение Аксиомы стереометрии.

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 11 классе

Итоговое повторение 11 класс
«Аксиомы стереометрии»

Цель урока: повторение аксиом и следствий из них, применение к решению задач.

Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается еще одна основная фигура — плоскость. Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, например:

Аксиома А₁. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома А₂. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Аксиома А₃. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Некоторые следствия из аксиом:
Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Задача № 1. Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости (рис.5).

Решение: Проведем через данные прямые а и b плоскость α (следствие из аксиом). Прямая с, пересекающая данные прямые имеет с плоскостью α две общие точки М и N (точки пересечения с данными прямыми). По аксиоме А₂ эта прямая должна лежать в плоскости α.

Задача № 2. Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости (рис. 6).

Решение: Данная прямая а и точка А определяют плоскость α (следствие из аксиом). Если прямая b проходит через точку А и пересекает прямую а в точке В, то прямая b имеет с плоскостью α две различные общие точки (А и В) и поэтому лежит в указанной плоскости α (А₂).

Задача № 3. Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.

Решение: П, точки А, В, С и D лежат в одной плоскости. Тогда прямые АВ и СD, АС и BD были бы параллельными, так что точки А, В, С, D являлись бы вершинами параллелограмма ABCD. Однако диагонали AD и ВС этого параллелограмма должны пересекаться, что противоречит условию задачи.

Задача № 4. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости α. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости α? Ответ обоснуйте.

Решение: (рис. 7) А, В, О ∈ α. Из того, что А, О ∈ α, по А₂ следует, что С ∈ α (ибо С ∈ АО). Из того, что В, О ∈ α, по А₂ следует, что D ∈ α (ибо D ∈ ВО). Итак, С и D лежат в плоскости α.
ОТВЕТ: да.

Задача № 15. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Решение: (рис. 8) Каждая из трех точек принадлежит сразу двум прямым. Например, через АВ и С ∈ АВ по теореме можно провести единственную плоскость α. Это значит, что все три отрезка АВ, ВС и АС лежат в плоскости α (аксиома А₂), поэтому прямые, которым принадлежат эти отрезки, также ∈ α.
Другой случай (рис. 9). I₁, l₂ ⊂ α, но l₃ ⊄ α, хотя и пересекается с l₂ и l₁ в точке М.

Вы смотрели: Итоговое повторение по геометрии за 10-11 классы. Решение тестов, вопросов и задач с ответами для УМК Атанасян и др. Поурочное планирование по геометрии для 11 класса. Урок 55. Геометрия 11 Повторение Аксиомы стереометрии.

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 11 классе по УМК Атанасян.